dodécaèdre rhombique

dodécaèdre rhombique   polyèdre suivant polyèdre précédent courbes 2d courbes 3d surfaces fractals polyèdres dodécaèdre rhombique rhombic dodecahedron, rhumbendodekaeder                     . anaglype à regarder avec des lunettes rouge (à gauche) et bleu (à droite). programme maple de tracé.   lien : mathematische-basteleien.de/rhombendodekaeder.htm   étymologie rhombique : du grec rhombos "losange". autres noms dodécaèdre rhomboïdal, rhombododécaèdre, ou granatoèdre (du latin granatus "grain, grenat", le grenat prenant des formes de dodécaèdre rhombique) famille polyèdre semi-régulier de deuxième espèce également : paralléloèdre historique solide connu d'archimède (iiie s. av. j.c.) ??? dual cuboctaèdre faces 12 losanges dont les grande et petite diagonale sont dans le rapport , de grand angle et de petit angle ,  de petite diagonale , et de grande diagonale . sommets 8 sommets de degré 3, de code de schläfli 43 et 6 sommets de degré 6 de code de schläfli 44. arêtes 24 arêtes de longueur a ; angle dièdre : 120°. patron graphe   diamètres sphère inscrite :  ; intersphère (tangente aux arêtes) :  ; sphère circonscrite aux sommets de degré 3 : 2a , aux sommets de degré 4 : . mensurations volume :    aire :  coefficient isopérimétrique : . coordonnées  des sommets les huit sommets de degré 3 :  les 6 sommets de degré 4 :  et permutés. constructions cube augmenté sur chaque face d'une pyramide dont les faces font un angle de 45 ° avec la base ; comparer avec la construction du tétraki-hexaèdre. voir ici une superbe animation de cette construction. octaèdre augmenté sur chaque face d'une pyramide dont les angles des faces avec la base sont tels que chaque face est coplanaire avec celle de la pyramide voisine; comparer avec la construction du triaki-octaèdre. polyèdres dérivés par adoucissement :  plans de symétrie 9 axes de rotation 3 axes passant par 2 sommets de degré 4 (2 rotations d'ordre 4  par axe et une d'ordre 2) 4 axes passant par 2 sommets de degré 3 (2 rotations d'ordre 3  par axe) 6 axes passant par les centres de deux faces opposées (1 rotations d'ordre 2  par axe) groupe des isométries  = celui du cube     le dodécaèdre rhombique plein est l'enveloppe convexe des sommets du cube et de son dual polaire ; les arêtes du cube sont alors les petites diagonales des faces du dodécaèdre, et celles de l'octaèdre les grandes.   le dodécaèdre rhombique pose des problèmes de vision dans l'espace, car lorsqu'on le regarde suivant une diagonale, on a l'impression de voir un cube : le dopdécaèdre plein est en fait formé de 4 rhomboèdres (que l'on prend pour des cubes). il reste au centre un tétraèdre régulier. remarquons que chaque rhomboèdre a une face en commun avec chacun des 3 autres.   construction d'un dodécaèdre rhombique à partir de cubes, par la méthode de l'abbé rené-just haüy (voir aussi sa méthode de construction de l'octaèdre).   le dodécaèdre rhombique plein est une projection affine de l'hypercube de dimension 4 plein. dans l'anaglyphe ci-contre,  à regarder avec des lunettes rouge (à gauche) et bleu (à droite)., on essaiera de distinguer les 6 parallélépipèdes projetés des 6 cellules cubiques de l'hypercube.   comme avec des cubes, on peut paver (c'est-à-dire remplir sans trou ni chevauchement) l'espace avec des dodécaèdres rhombiques. voir aussi à également à paralléloèdre. ci-contre, les douze dodécaèdres rhombiques accolés aux douze faces d'un autre dodécaèdre rhombique, centrés aux sommets d'un cuboctaèdre. cette propriété de pavage provient du fait que le dodécaèdre rhombique n'est autre que le "domaine fondamental" (à savoir le domaine formé des points pour lesquels le noeud le plus proche est le noeud considéré) d'un réseau cubique à faces centrées, . ici, les dodécaèdres sont centrés aux points de coordonnées , avec i,j,k entiers de somme paire.     le réseau cubique à faces centrées est obtenu à partir de deux réseaux cubiques simples, chaque noeud de l'un étant au centre d'un cube formé par 8 noeuds de l'autre. il est plus dense (densité ) que le réseau cubique centré, dont le domaine fondamental est l'octaèdre tronqué.   le réseau cubique à faces centrées est celui qu'on obtient naturellement lorsqu'on range des oranges ou des boulets de canon (que l'on parte d'une base carrée ou triangulaire).     les baies de grenade, à cause de la compression, tendent à s'empiler en réseau cubique à face centrée, ce qui explique qu'elles prennent la forme approximative de dodécaèdres rhombiques.   les alvéoles d'abeilles ont la forme de prismes hexagonaux terminés par trois losanges faisant entre eux des angles de 120° ; ces trois losanges sont donc les 3 faces aboutissant à un sommet de degré 3 d'un dodécaèdre rhombique. on montre que cet angle de 120° est celui qui minimise l'aire de l'alvéole, de sorte que les abeilles résolvent un problème d'extrémum !   les armatures de cette pyramide de cordes forment un demi dodécaèdre rhombique. cristal de grenat grossulaire, en forme de dodécaèdre rhombique.  voir aussi ces cristaux de cuivre voir aussi l'hypergranatoèdre, version 4d du dodécaèdre rhombique, et le triacontaèdre rhombique, qui est à la paire dodécaèdre-icosaèdre ce qu'est le dodécaèdre rhombique à la paire cube-octaèdre. polyèdre suivant polyèdre précédent courbes 2d courbes 3d surfaces fractals polyèdres © robert ferréol 2005

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    dodécaèdre rhombique 11    dodécaèdre rhombique 10    dodécaèdre rhombique 9        dodécaèdre rhombique 13    dodécaèdre rhombique 14    dodécaèdre rhombique 15
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