dodécaèdre
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courbes 2d
courbes 3d
surfaces
fractals
polyèdres
dodécaèdre
dodecahedron, dodekaeder
anaglype à regarder avec des lunettes
rouge (à gauche) et bleu (à droite)
du grec "dodeka" douze et "edros" siège,
base.
lien : mathematische-basteleien.de/pentagondodekaeder.htm
un dodécaèdre est un polyèdre
à 12 faces.
il existe plus de 6 millions de types
de dodécaèdres différents dont voici la répartition
suivant le nombre de sommets :
nombre de sommets
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
nombre de dodécaèdres
14
558
8822
64439
268394
709302
1263032
1556952
1338853
789749
306470
70454
7595
le plus célèbre est le dodécaèdre
régulier (20 sommets) dont on trouvera ci-dessous la carte de visite,
mais il y a aussi le dodécaèdre
rhombique (14 sommets), le triaki-tétraèdre
(8 sommets) et le dodécadeltaèdre
(8 sommets) ; voir ici
une liste plus complète.
famille
polyèdres
réguliers
historique
10 siècles av. jc, les étrusques utilisaient
des dés dodécaèdriques ; solide décrit par
platon en 370 av. j.c.
dual
icosaèdre
régulier¬
dual
polaire du dodécaèdre par rapport à sa sphère
circonscrite
faces
12 pentagones
réguliers
sommets
20 sommets de degré 3, de code
de schläfli 53
arêtes
30 arêtes de longueur a ; angle dièdre
: rd,
soit 116° 33' 54"
patrons
(il
y en a 43380 en tout !)
graphe
comparer avec une citadelle de vauban !
ce graphe n'est pas semi-eulérien (il n'y a
pas de chemin passant une fois exactement par chaque arête) mais
il est hamiltonien : il existe un chemin fermé passant une
fois exactement par chaque sommet ; voir la réponse plus
bas.
ses faces sont coloriables avec au minimum 4 couleurs.
diamètres
sphère inscrite :
;
intersphère
(tangente
aux arêtes) :
;
sphère circonscrite :
où
est le nombre d'or.
mensurations
volume :
aire :
coefficient isopérimétrique :
coordonnées
des sommets
(voir le repère dans
la première vue ci-dessus)
12 sommets
permutés circulairement, et 8 sommets d'un cube
2 sommets étant reliés par une arête
sssi leur distance vaut a.
constructions
n°1 : comme dual de l'icosaèdre.
n°2 : cube augmenté
de 6 "toits"
voir aussi l'anaglyphe en haut de page
le toit de faîte [kh] surmontant le carré
abcd est entièrement défini par le fait que ses arêtes
([ah], [kh], etc) ont même longueur et forment entre elles des angles
égaux (ahb = ahk etc).
plans de symétrie
15
axes de rotation
6 axes passant par 2 centres de faces opposées
(4
rotations d'ordre 5 par axe)
15 axes passant par les milieux de 2 arêtes opposées
(1
rotation d'ordre 2 par axe)
10 axes passant par 2 sommets opposés (2
rotations d'ordre 3 par axe)
groupe des isométries
ordre 120 : 60 rotations (l'identité, 12
cinquièmes de tours, 12 deux cinquièmes de tours, 20 tiers
de tours, 15 demi-tours) et 60 antirotations
(produits
des précédentes par la symétrie de centre
o,
dont 15 réflexions)
le sous-groupe des 60 rotations est isomorphe au groupe a5
des permutations paires de 5 objets (action sur un ensemble de 5 tétraèdres
réguliers inscrits).
polyèdres dérivés
par troncature forte
: icosidodécaèdre
; par troncature faible : dodécaèdre
tronqué ; ; par facettage : icosidodécaèdre
tronqué ; par augmentation
: pentaki-dodécaèdre,
triacontaèdre
rhombique.
voici un cycle hamiltonien du graphe ; on peut montrer
que c'est le seul à isométrie de l'icosaèdre près.
projection centrale du squelette du dodécaèdre
sur la sphère circonscrite : on obtient un pavage régulier
de la sphère par 12 pentagones sphériques réguliers
; remarquons qu'il est impossible de paver le plan avec des pentagones
réguliers !
le dodécaedre étant le polyèdre
régulier ayant le maximum de sommets, le nombre maximal de calottes
sphériques que l'on peut placer sur la sphère de sorte que
chacune soit tangente à un même nombre d'autres calottes est
égal à 20, et leurs centres sont au sommet d'un dodécaèdre
régulier.
cependant, cette configuration ne donne pas la réponse
au problème des dictateurs ennemis dans le cas n = 20, problème
demandant comment sont disposées sur une sphère n
calottes sphériques identiques (les états de chaque dicateur)
de taille maximale et ne se chevauchant pas. on sent bien qu'il y a encore
beaucoup de bleu par rapport au rouge...
on ne connait pas actuellement la configuration optimale.
sources : marcel berger, pour la science 176, p. 72 et dossier pour
la science 41 p. 40.
polyèdre composé formé du dodécaèdre
et de l'icosaèdre dual polaire par rapport à la sphère
tangente aux arêtes ; la partie commune est l'icosidodécaèdre.
l'enveloppe des sommets est le triacontaèdre
rhombique.
dodécaèdre avec pavage d'escher
foot et dodécaèdre...
superbe casse-tête dodécaédrique
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© robert ferréol
2005
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